give up 的意思是“放弃”
give up on 的意思是放弃对某人或某物的希
望、努力、信心
up在此是副词，有“完全”、“尽”、“全部”的意思
on在此是介词，是“在...方面上”
（1）give up 中的give可以是及物动词也可以是不及物动词。
当是及物动词时，give sb/sth up，give直接作用于sb/sth，give的本义是“给”，被“给”之物肯定是主语的所属物才行吧。
不是你的东西，你是没有权利“给”别人的。
而give up 字面意思是“完全给出去了”，延伸出“放弃”的意思。
（2）give up on sb/sth，give此处是不及物动词，此处sb/sth并不是被give直接作用的，不是give的宾语，而是介词的逻辑宾语，即此sb/sth不是主语的所属物。或者是属于主语的，但是给不出去的，属于自带属性。
give up on 的本义是“在涉及…方面上，把希望、信心、努力等完全给出去了”，延伸出“对…没有希望、信心”的意思。
例如：
Don't give up on God.不要放弃上帝。（上帝不是你的，但对上帝的信仰却属于你的）
Every day, many people give up on their dreams due to self-doubt and fear.每天，都有无数的人会因为自我怀疑和恐惧而放弃自己的梦想。（梦想这东西是不会消失的，也给不出去，只有你坚持不坚持而已）