考纲原文

（1）了解指数函数模型的实际背景.

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.

知识点详解

一、指数与指数幂的运算

1．根式

（1）n次方根的概念与性质

（2）根式的概念与性质

【注】

速记口诀：

正数开方要分清，根指奇偶大不同，

根指为奇根一个，根指为偶双胞生．

负数只有奇次根，算术方根零或正，

正数若求偶次根，符号相反值相同．

负数开方要慎重，根指为奇才可行，

根指为偶无意义，零取方根仍为零．

2．实数指数幂

（1）分数指数幂

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

（2）有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 ，均有下面的运算性质：

（3）无理数指数幂

对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.

二、指数函数的图象与性质

1．指数函数的概念

2．指数函数 的图象与性质

【注】速记口诀：

指数增减要看清，抓住底数不放松；

反正底数大于0，不等于1已表明；

底数若是大于1，图象从下往上增；

底数0到1之间，图象从上往下减；

无论函数增和减，图象都过(0，1)点．

3．有关指数型函数的性质

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．

二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．

考向分析

考向一 指数与指数幂的运算

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

考向二 与指数函数有关的图象问题

【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”．

考向三 指数函数单调性的应用

1．比较幂的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．

2．解指数方程或不等式

简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

考向四 指数型函数的性质及其应用

1．指数型函数中参数的取值或范围问题

应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．

2．指数函数的综合问题

要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.

【名师点睛】

1. 由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点：
   （1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除；（3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断．
   2.解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为 （或 ）恒成立的问题求解，此时只需求得函数 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．