所谓分类讨论,就是当题目所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每个类别级别进行研究,得出每一类的结论,最后将各类结果进行综合,得到整个问题的解答。
分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
分类讨论,是一种重要的数学思想,也是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略。在高中数学中,分类讨论时非常重要的一种解题思路,每次高考的数学试卷中,必然会有需要用到这种思想方法的题目。
一、分类讨论的要求及其意义
1、分类讨论的要求:
首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。
2、分类讨论的因素:
(1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等。
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域,等比数列{an}的前n项和公式等。
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等。
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。
(5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。
二、分类讨论思想的原则
为了分类的正确性,分类讨论必需遵循一定的原则进行,在中学阶段,我们经常用到的有以下四大原则:
(1) 同一性原则:分类应按照同一标准进行,即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。
(2) 互斥性原则:分类后的每个子项应当互不相容,即做到各个子项相互排斥,分类后不能有些元素既属于这个子项,又属于另一个子项。
(3) 相称性原则:分类应当相称,即划分后子项外延的总和(并集),应当与母项的外延相等。
(4) 层次性原则:分类有一次分类和多次分类之分,一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后的所有的子项作为母项,再次进行分类,直到满足需要为止。
三、分类讨论思想的应用与例题详解
(一)分类讨论思想在集合中的应用
在集合运算中常常需要结合元素与集合,集合与集合之间的关系分类讨论,尤其是对一些含参数的集合问题,常需要进行分类讨论求解。
(二)分类讨论思想在函数中的应用
1. 用分段函数来分类讨论
2.函数中含参数的分类讨论
(三)分类讨论思想在不等式中的应用
1.涉及运算要求的分类讨论
我们在解题过程中,往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算,很多变形和运算是受条件限制的,如解不等式当两边同时乘(除)以一个代数式时,要考虑代数式的值是否为负;解无理不等式时,去掉根号要考虑两边是否都大于0等等。
2.含参数不等式的分类讨论
(四)分类讨论思想在排列组合中的应用
分类讨论思想在排列组合中也常见,尤其是解含有约束条件的排列组合问题时,运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题。
(五) 分类讨论思想在数列中的应用
在有些数列问题中存在不确定的因素,如等比数列的公比q 是否为1;数列的项的个数为偶数还是奇数等等,就那样的数列问题,我们要进行分类讨论。
(六) 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
(七)分类讨论思想在立体几何中的应用
点,线,面是组成几何图形的三个要素,有些立体几何题中,这三者的位置关系是不确定的,因此要对每种情况进行分类讨论求解,这样防止漏解。下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论。
四、避免和简化分类讨论
分类讨论时一种重要的解题策略,但它不是万能的。对于分类讨论的问题,在熟悉和掌握分类讨论的同时,要注意克服盲目讨论的思维定势,要认真审查题目的特点,充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性,尽可能避免分类讨论,简化分类讨论过程,从而提高分类讨论的效果。
(1) 通过逆向思维避免分类讨论
当问题不易直接求解时,可考虑它的反面,通过对其反面情况的分析研究,使问题得到解决。
(2) 有的讨论题,若用化参数为函数的方法求解,则可简化讨论。