交汇点讯 国际数学界最高荣誉之一，2020年度阿贝尔奖近日颁发，以色列希伯来大学的希勒尔·弗斯滕贝格和美国耶鲁大学的格雷戈里·马古利斯摘得大奖，以表彰他们率先将概率论和动力系统的方法用于群论、数论和组合数学。
把一些“毫无头绪”的问题数学化
现年85岁的弗斯滕贝格和74岁的马古利斯都是犹太人，国际顶尖数学家。如今，马古利斯已集齐阿尔贝奖、菲尔兹奖和沃尔夫——数学界“三大奖”于一身。而弗斯滕贝格也获得了除菲尔兹奖（只颁给40岁以下的年轻人）以外的两大奖项。 在二十世纪，人们通常认为概率论只是应用数学的范畴，而弗斯滕贝格和74岁的马古利斯作为概率论和动力系统的“大佬”，却找到了一类新方法以展示随机性、概率方法如何解决抽象问题，解决了纯数学的问题，用阿贝尔奖委员会主席汉斯·芒特—卡斯的评价来说，“他们打破了理论数学与应用数学间的传统壁垒，解开了此前看起来毫无头绪的问题”。 “他们率先将概率论和动力系统的方法用于群论、数论和组合数学。打通这些领域，一方面可以用动力系统或者遍历理论的方法来解决问题，另一方面也提供了看待问题的新视角和观点。”南京大学数学系副教授窦斗解释，动力系统的方法是选取一个适当的动力系统，将自然数对应于动力系统中点的迭代时间，将系统中的点在演化下进入某个集合的时间集对应自然数的某个子集。“这样一来，原有的问题就可以转化为动力系统的问题。” 数学家的专属“动力系统”很多人都很陌生——而这恰恰是数学家“化繁而简”的大招。 南京大学数学系程伟教授介绍，人们可以把最简单的动力系统模型，想象成一台老式的、纸带的打字机。按照伽莫夫在《从一到无穷大》一书中的生动描述，如果这台打字机一直打下去，而且纸带也足够长，那么一定会发现莎士比亚的十四行诗！“当然我们知道，等待这些杰作的时间是需要很长很长的时间。” “所谓动力系统，我们可以想象成打印机不断运行下的纸带，为了简化这个模型，我们可以想象纸带上只有0和1排列出来的序列。 在时间趋于无穷大的时候，系统的行为会是什么？” 程伟表示，这其中既有规律性的东西，又有混乱的随机性的东西，动力系统一般而言是一个随机性和确定性共生的系统，“我们也可以说，动力系统是研究时间的科学。”
不确定混沌中隐藏秩序和结构
动力系统的诞生，离不开一个名字——著名科学家亨利·庞加莱， 1889 年，时年 34 岁的亨利·庞加莱在一项由数学爱好者瑞典和挪威国王奥斯卡二世主办的大赛上，提交了自己的论文，宣称他能够以任意精度计算三体的运动轨迹，并成功获奖。但当论文被《数学学报》编辑并准备发布时，庞加莱开始意识到自己犯了一个严重的错误。他关于三体问题解决方法的证明是不成立的。因为这个错误，印好这篇论文的杂志被全球召回。而庞加莱从犯错的尴尬中走出来，并开始弥补他的错误。却意外开创了动力系统这一数学学科。 窦斗说，在解决三体问题的过程中，人们发现，用牛顿时代的微分方程来描述天体的运动，或期望通过求解微分方程来决定天体演化已经不再可行，三体以及多体系统通常无法精确求解，其运行轨道无法预测。“于是数学家们将系统所有可能出现的状态作为研究对象，研究这些状态随时间演化的定性性质和长时间的行为规律，这就导致了动力系统的产生。” 庞加莱及其后继的巨人们让人们发现了确定性系统内部的不确定运动，即所谓的“混沌”（chaos），自上个世纪80年代以来，混沌理论就吸引了数学、物理、工程、生态学、经济、气象学、情报学等诸多领域的关注，广泛应用于自然学科，并引发了全球“混沌热”。可以说，没有动力系统就没有混沌的发现。 “人们在研究混沌的过程中发现，有些系统的演化是确定性的，而有些系统中，一个微小的误差随着时间地不断推移可能造成巨大的后果。” 窦斗说，这可以用著名的“蝴蝶效应”举例：一只生活在南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，就可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。“这说明有些系统（例如气象系统）对初始条件极为敏感，具有极度的复杂性和不确定性。在动力系统中，人们用‘混沌’一词来描述这类现象。” “混沌显著的特征，除了对初值有敏感性外，另一个重要特征是，某个状态在长时间以后还一定会回来，可以理解为‘若即若离’。”程伟表示，由于混沌对于初值的敏感性，所以不可预测；而由于“若即若离”的回归性，混沌又伴生了类似周期性的规律。 两位数学家工作中的共通点就是使用了遍历理论，揭示了“混沌”中隐藏的秩序和结构。 在早年间的开创性论文中，弗斯滕贝格就借助遍历理论的思想表明，即使随机性最大的无穷整数集合，其内部也会包含一些规则结构。他说：“即使整个系统是混沌的，其内部也会隐藏一些结构。这就像夜空的星星，它们看上去是完全随机的，但古希腊人却能总结出一些星座。” 而他的思想影响到了各个领域，有些领域似乎离遍历理论比较远，包括几何学与代数。基于他的工作，加州大学洛杉矶分校数学家陶哲轩与牛津大学的数学家本格林于 2004 年宣布在数论上取得重大突破，他们在看似完全随机排列的素数中发现了惊人的模式。
探索“随机”，理解更大的空间
“遍历理论，用测度或者概率的方法来研究动力系统的方法之一，通常研究的是那些能够历经几乎所有状态的系统（遍历系统）。” 窦斗介绍。 大至行星运动，小至股市波动，这些动力学系统都具有混沌性，即系统未来的状态只能用概率来估计。遍历理论这一从统计物理中引出来的数学理论，主要研究统计物理当中随机的部分。为某些数学问题提供整体上或者结构上的观点。 根据遍历理论中的弗斯滕贝格结构定理，一个遍历系统可以由平凡系统分别通过确定性的和随机性的扩张产生，相应的数学问题就可以通过在确定性和随机性的情形下分别解决得以完成。当应用于其他数学问题时，这种随机性中反而蕴含某种规律，也能成为一种优势。菲尔茨奖得主陶哲轩说：“如果你想理解一个很大的空间，一种方法是对它进行随机探索。” 实际上，在上个世纪中期的数学体系中，很多数学家并不认为概率论是非常重要的一部分，比它更为基础的还有数论、代数和几何等领域。当时很多数学家认为概率论只是“应用数学”，毫无疑问，弗斯滕贝格和马古利斯的发现是革命性的巨变。 “他们巧妙地运用概率方法和随机行走技术解决了不同数学领域中的深刻问题，并以此震惊了数学界。”阿贝尔奖评奖委员会主席、挪威卑尔根大学数学家本·格里汉斯·蒙特卡亚斯说，“这带来了许多新成果，比如素数集中存在任意长的算术级数、对李群结构的深层理解、扩展图的诞生及其在通信技术和计算机科学中的应用等。” 程伟说，两位获奖者所作的工作带来的意义影响或者不仅仅如此。 “1900年，著名数学家希尔伯特23个需要在新世纪解决的问题，其中第6个问题，用数学的公理化方法推演出全部物理。”程伟告诉记者，要从相同的公理出发，推导全部物理学定律，证明它们不只是偶然的，不同现象的不相干描述，而是一套统一的数学上严密的，内在自洽的反映真实的理论。这是数学家最伟大的而又似乎不可能完全实现的梦想，“数学的本质与宇宙万物的关联，理解随机性问题，是链接数学宇宙和真实宇宙的值得深究路径。”
交汇点记者 杨频萍 王甜