1.【2022年全国甲卷】已知a,b,c均为正数,且,证明:
(1);
(2)若,则.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据,利用柯西不等式即可得证;
(2)由(1)结合已知可得,即可得到,再根据权方和不等式即可得证.
(1)
证明:由柯西不等式有,
所以,
当且仅当时,取等号,
所以;
(2)
证明:因为,,,,由(1)得,
即,所以,
由权方和不等式知,
当且仅当,即,时取等号,
所以.
2.【2022年全国乙卷】已知a,b,c都是正数,且,证明:
(1);
(2);
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用三元均值不等式即可证明;
(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可.
(1)
证明:因为,,,则,,,
所以,
即,所以,当且仅当,即时取等号.
(2)
证明:因为,,,
所以,,,
所以,,
当且仅当时取等号.
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